Pembuktian Secara Matematis dan Visual (Jumlah semua bilangan asli kubik berurutan)

Pembuktian secara matematis:
Untuk semua bilangan bulat $n\geq 1, 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+\cdots +n)^{3}$

Dengan menggunakan induksi matematika, akan dibuktikan $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+\cdots +n)^{3}$, untuk semua bilangan asli $n\geq 1$.

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+\cdots +n)^{3}$

                                              $=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}$

                                              $= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

Dengan menggunakan induksi matematika, akan dibuktikan $ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$, 

untuk semua bilangan asli $n\geq 1$.

Karena $\frac{1^{2}(1+1)^{2}}{4}= \frac{1.4}{4}= 1= 1^{3}$, maka pernyataan benar untuk $n=1$

Asumsikan

                                $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$

bernilai benar, akan dibuktikan

                        $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}= \frac{(k+1)^{2}((k+1)+1)^{2}}{4}$

juga benar.

Karena

                                $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$

maka berlaku

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}$

                                                                     $= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+\frac{4(k+1)^{3}}{4}$

                                                                     $= \frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4(k+1))}{4}$

                                                                     $= \frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)}{4}$

                                                                     $= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}$

                                                                     $= \frac{(k+1)^{2}((k+1)+1)^{2}}{4}$

Jadi, terbukti $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+\cdots +n)^{3}$ bernilai benar untuk semua bilangan bulat $n\geq 1$.

Pembuktian visual:

Untuk semua bilangan bulat $n\geq 1, 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+\cdots +n)^{3}$

Nelsen (1993) menampilkan bukti visual untuk jumlah bilangan asli kubik pertama yang ditemukan oleh J. Barry Love pada gambar di bawah ini:

Penjelasan Bukti visual:

                                                                                                         A

                                                                                                         B

                                                                                                         C

                                                                                                         D

Penjelasan gambar:

Pada Gambar dapat dilihat bahwa bola-bola disusun di dalam persegi dan diberi warna berbeda-beda berdasarkan penambahan suku serta diberi garis siku sesuai dengan warna masing-masing bola. Untuk $n=2$ ialah menambahkan $1$ buah persegi berukuran $2^{2}$ dengan 1/2 buah persegi dengan ukuran $2^{2}$ pada baris dan kolom, terlihat pada Gambar selanjutnya. Untuk $n=3$ ialah menambahkan $2$ buah persegi berukuran $3^{2}$ pada baris dan kolom, terlihat pada Gambar selanjutnya. Untuk $n=4$ ialah menambahkan 2 buah persegi berukuran $4^{2}$ dengan 1/2 buah persegi dengan ukuran $4^{2}$ pagda baris dan kolom, terlihat pada Gambar selanjutnya. Untuk $n=5$ ialah menambahkan 3 buah persegi berukuran $5^{2}$ pada baris dan kolom, terlihat pada Gambar 3.5(D). Dengan melihat pola yang ada penambahan persegi pada baris dan kolom, untuk n bilangan genap penambahan persegi berukuran n^2 sebanyak (n/2+1/2), untuk n bilangan ganjil penambahan persegi berukuran n^2 sebanyak (n+1)/2. Jadi bilangan pangkat kubik positif jika dijumlahkan akan menghasilkan banyak bola yang disusun membentuk persegi dengan banyak baris dan kolomnya ialah (n(n+1))/2=(1+2+3+⋯+n). Oleh karena itu, untuk semua bilangan bulat n≥1, terbukti bahwa 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = (1+2+3+⋯+n)^2.