Pembuktian Secara Matematis dan Visual (Jumlah semua bilangan asli berurutan)

Pembuktian secara matematis:

Untuk semua bilangan bulat $n\geq 1, 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$\qquad$Dengan menggunakan induksi matematika, akan dibuktikan $n\geq 1, 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ , untuk semua bilangan bulat $n\geq 1$.

Karena $\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=1$, maka pernyataan benar untuk $n=1$.

Asumsikan:

$\qquad\qquad\qquad\qquad1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$

bernilai benar, akan dibuktikan:

$\qquad\qquad\qquad1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$

juga bernilai benar.

Karena

$\qquad\qquad\qquad\qquad1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$

maka berlaku

$1+2+3+...+k+(k+1)\:=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2k+2}{2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{k^{2}+k+2k+2}{2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{k^{2}+3k+2}{2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$

$\qquad$

Jadi, terbukti $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ bernilai benar untuk semua bilangan bulat $n\geq 1$.

$\qquad$

Pembuktian visual:

Untuk semua bilangan bulat $n\geq 1, 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Nelsen (2015) menampilkan bukti visual untuk jumlah bilangan asli pertama yang ditemukan oleh The ancient Greeks pada gambar di bawah ini:

Penjelasan gambar dengan cara pertama:

$\qquad$Pada diatas terlihat bahwa bangun persegi panjang, jika dipotong salah satu diagonalnya maka akan membentuk dua buah segitiga yang kongruen. Segitiga yang terbentuk merepresentasikan banyak dari bilangan asli yang berurutan. Persegi panjang warna merah menampilkan jumlah bilangan asli pertama untuk $n=1$, persegi panjang warna oren menampilkan jumlah bilangan asli pertama untuk $n=2$, persegi panjang warna kuning menampikan jumlah bilangan asli pertama untuk $n=3$, persegi panjang warna hijau muda menampikan jumlah bilangan asli pertama untuk $n=4$, dan seterusnya. Luas dari gambar tersebut merupakan total dua kali jumlahan bilangan asli berurutan. Bila ingin menghitung jumlahan bilangan asli berurutan ialah luas persegi tersebut dibagi 2, Panjang dari persegi panjang itu ialah n+1 dan lebar dari persegi panjang itu ialah $n$. Jadi jika ingin menghitung jumlahan bola yang terbentuk ialah $\frac{1}{2}\times n\times (n+1)$ bola. Maka n bilangan asli berurutan jika dijumlahkan akan menghasilkan $\frac{n(n+1)}{2}$.

$\qquad$

Penjelasan gambar dengan cara kedua:

$\qquad$Menggunakan sebuah bagian segitiga yang terbentuk pada Gambar nelsen terlihat bahwa mula-mula sebuah bola disusun membentuk segitiga yang pada setiap baris akan bertambah $1$ buah bola, kemudian akan dihitung jumlah total dari bola-bola tersebut, maka pindahkan beberapa bola sehingga membentuk bangun persegi panjang seperti gambar diatas, bola dipindahkan agar dapat menghitung total seluruh bola yang ada dengan luas persegi panjang. Apabila n bernilai ganjil maka panjang dari persegi panjang itu ialah n dan lebar dari persegi panjang itu ialah $\frac{n+1}{2}$, namun untuk n bernilai genap maka panjang dari persegi panjang itu ialah $(n+1)$ dan lebar dari persegi panjang itu ialah $\frac{n}{2}$. Langkah yang dilakukan dalam menghitung total seluruh bola ialah mencari luas yang terbentuk dengan cara mengalikan panjang dan lebarnya. Jadi jika ingin menghitung jumlahan bola yang terbentuk untuk $n$ bernilai ganjil ataupun genap ialah $n\times \frac{n+1}{2}$ bola. Maka $n$ bilangan asli berurutan jika dijumlahkan akan menghasilkan $\frac{n(n+1)}{2}$.

$\qquad$

$\qquad$Dari dua penjelasan gambar diatas sama sama menghasilkan identitas yang sama. Jadi untuk semua bilangan bulat $n\geq 1$, terbukti bahwa $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$.